Взаимосвязь веры и математической истины
Отвечаю на из оригинального треда "В чем ошибка?":
Маленькое замечание: форма постороения заявления "я надеюсь, что ты понимаешь, что ..." подразумевает определенную уверенность в истинности того, что следует далее. Должен тебя разочаровать (ты напрасно надеялся
).
По сути:
Напомню, о чем шла речь:
:
:
:
Видишь ли, с одной стороны, я не хотел бы излагать тебе то, что для тебя банально, с другой - не грузить скучной формалистикой, если это не твоя область. Между этими Сциллой и Харибдой я не проскочу, не зная, что на самом деле тебе известно по затронутому вопросу.
В качестве первой попытки объяснения предложу такую схему:
Аксиоматика Пеано -> Определение чисел 2 и 4, и операции х -> Доказательство тождества
Куда прикажешь копать: вглубь, вширь, вверх ?
Теперь основной вопрос философии
Ты пишешь:
Перечитай:
Ты не согласен, что мы опять пишем одно и то же? Я не умею спорить в такой ситуации.
ЗЫ В приват щас напишу.
> Даже мне (а это почти моя специальность) разбирательство в ZFC не доставило никакого удовольствия. Помри лучше неграмотным, но счастливым
Я надеюсь, что ты понимаешь, что это твое заявление эквивалентно признанию своей неспособности сделать это?
Маленькое замечание: форма постороения заявления "я надеюсь, что ты понимаешь, что ..." подразумевает определенную уверенность в истинности того, что следует далее. Должен тебя разочаровать (ты напрасно надеялся
).По сути:
Напомню, о чем шла речь:
:
Я считаю, что уже разобрался, что 2х2=4:
Ну так объясни бедному ламеру. А то ведь так неграмотным и помру.
:
Но это же тоска зеленая! Даже мне (а это почти моя специальность) разбирательство в ZFC не доставило никакого удовольствия. Помри лучше неграмотным, но счастливым
:
Я надеюсь, что ты понимаешь, что это твое заявление эквивалентно признанию своей неспособности сделать это?
Видишь ли, с одной стороны, я не хотел бы излагать тебе то, что для тебя банально, с другой - не грузить скучной формалистикой, если это не твоя область. Между этими Сциллой и Харибдой я не проскочу, не зная, что на самом деле тебе известно по затронутому вопросу.
В качестве первой попытки объяснения предложу такую схему:
Аксиоматика Пеано -> Определение чисел 2 и 4, и операции х -> Доказательство тождества
Куда прикажешь копать: вглубь, вширь, вверх
?Теперь основной вопрос философии
Ты пишешь:
Называй вещи своими именами. "Соглашение", а затем и дальнейшее "использование" ничем не отличается от веры. Раз пользуешься, значит веришь, иначе пользовался бы другим.
Перечитай:
мне кажется, вопрос о первичности веры является терминологическим.
Если соглашения об аксиоматике называть верой, то, конечно, вера первична, и не о чем спорить.
Ты не согласен, что мы опять пишем одно и то же? Я не умею спорить в такой ситуации
.ЗЫ В приват щас напишу.
Ну вообще-то изначально спор предлагался немного на другую тему, ну да ладно.
> Аксиоматика Пеано -> Определение чисел 2 и 4, и операции х -> Доказательство тождества
Хе, определения 2 и 4 выводятся из аксиоматики Пеано, точно так же как и то, что 2*2=4. Значит, вопрос о вере в 2*2=4 мы заменяем на вопрос о вере в аксиоматику Пеано. Итак переформулирую вопрос: "Ты разобрался в аксиоматике Пеано, или просто поверил в нее?" Или так: "какая разница, во что верить: в таблицу умножения (следствие) или в аксиоматику Пеано (предпосылка)?".
Дай, я попробую приладить эту мысль к твоему рассуждению о математиках и нематематиках:
"Нематематики верят в то, что таблица умножения верна. Математики копают глубже, находят там аксиоматику Пеано и начинают верить в нее. Так или иначе, но и те и другие верят в то, что 2*2=4, только математики считают, что они обосновали свою веру, хотя на самом деле просто они просто __изобрели__ механизм, с помощью которого получается что 2*2=4 и верят в этот механизм".
> Ты не согласен, что мы опять пишем одно и то же? Я не умею спорить в такой ситуации
я просто никак не пойму, что же ты хочешь сказать словами "я разобрался в ..." и "я выбрал для себя ...".
> Аксиоматика Пеано -> Определение чисел 2 и 4, и операции х -> Доказательство тождества
Хе, определения 2 и 4 выводятся из аксиоматики Пеано, точно так же как и то, что 2*2=4. Значит, вопрос о вере в 2*2=4 мы заменяем на вопрос о вере в аксиоматику Пеано. Итак переформулирую вопрос: "Ты разобрался в аксиоматике Пеано, или просто поверил в нее?" Или так: "какая разница, во что верить: в таблицу умножения (следствие) или в аксиоматику Пеано (предпосылка)?".
Дай, я попробую приладить эту мысль к твоему рассуждению о математиках и нематематиках:
"Нематематики верят в то, что таблица умножения верна. Математики копают глубже, находят там аксиоматику Пеано и начинают верить в нее. Так или иначе, но и те и другие верят в то, что 2*2=4, только математики считают, что они обосновали свою веру, хотя на самом деле просто они просто __изобрели__ механизм, с помощью которого получается что 2*2=4 и верят в этот механизм".
> Ты не согласен, что мы опять пишем одно и то же? Я не умею спорить в такой ситуации
я просто никак не пойму, что же ты хочешь сказать словами "я разобрался в ..." и "я выбрал для себя ...".
> Ну вообще-то изначально спор предлагался немного на другую тему, ну да ладно.
Давай и на другую тоже. Ты о брадобрее или о чем?
> ...вопрос о вере в 2*2=4 мы заменяем на вопрос о вере в аксиоматику Пеано. Итак переформулирую вопрос: "Ты разобрался в аксиоматике Пеано, или просто поверил в нее?"
Скажем аккуратно: я поверил тем людям и книгам, которые утверждают существование непротиворечивой модели для этой аксиоматики. На самом деле сейчас уже не помню, если модель простая, может, даже я ее когда-то знал.
Если бы меня заверили, что описание этой модели можно замкнутым образом изложить страницах на пяти-семи, я бы с удовольствием с ним ознакомился. Если больше - то с сожалением отказался бы.
К тому же на финише этого копания меня, если верно понимаю, ждет в виде приятного "сюрприза" теорема Геделя о неполноте
Понимаю ли я, что эти слова автоматически означают признание себя "нематематиком"? Понимаю
> Или так: "какая разница, во что верить: в таблицу умножения (следствие) или в аксиоматику Пеано (предпосылка)?".
Ну, в общем, чисто количественная.
А какая разница во что верить - в то, что тебя распределят в рай, или в то, что некое "правильное" поведение это повлечет?
Я бы сформулировал свою позицию так: не надо верить ни в аксиоматику Пеано, ни в 2х2=4. Надо знать (= уметь самому или поверить другим людям что посредством некоторых, достаточно популярных среди математиков, правил можно из аксиом вывести тождество.
А верить (или _не_ верить) надо в то, что при обратном переносе тождества 2х2=4 из мат.моделей в жизнь, оно при правильно оговоренной погрешности (а иногда абсолютно точно) будет выполнено.
> Дай, я попробую приладить эту мысль к твоему рассуждению о математиках и нематематиках:
Давай править:
"Нематематики верят в то, что таблица умножения верна. Некоторые математики копают глубже, находят там аксиоматику Пеано и начинают верить в нее. Некоторые копают еще глубже, вплоть до тех, которые убеждаются в том, что "дна нет". Так или иначе, все они верят в то, что 2*2=4, различаясь только глубиной убежденности в своей вере. Те, которые считают, что они обосновали свою веру, на самом деле просто "изобрели" механизм, с помощью которого получается что 2*2=4. Но опыт показывает, что этот механизм позволяет получать ряд результатов как интересных с точки зрения практики, так и востребованных учеными-теоретиками".
> > Ты не согласен, что мы опять пишем одно и то же? Я не умею спорить в такой ситуации
> я просто никак не пойму, что же ты хочешь сказать словами "я разобрался в ..." и "я выбрал для себя ...".
Нет, "одно и то же" не относилось к "разобрался и выбрал".
Пожалуй, я возьму небольшой тайм-аут на формулировку того, что я хочу этим сказать. Надеюсь, будет не очень плохо, если я подправлю эти неудобоваримые слова
Давай и на другую тоже. Ты о брадобрее или о чем?
> ...вопрос о вере в 2*2=4 мы заменяем на вопрос о вере в аксиоматику Пеано. Итак переформулирую вопрос: "Ты разобрался в аксиоматике Пеано, или просто поверил в нее?"
Скажем аккуратно: я поверил тем людям и книгам, которые утверждают существование непротиворечивой модели для этой аксиоматики. На самом деле сейчас уже не помню, если модель простая, может, даже я ее когда-то знал.
Если бы меня заверили, что описание этой модели можно замкнутым образом изложить страницах на пяти-семи, я бы с удовольствием с ним ознакомился. Если больше - то с сожалением отказался бы.
К тому же на финише этого копания меня, если верно понимаю, ждет в виде приятного "сюрприза" теорема Геделя о неполноте
Понимаю ли я, что эти слова автоматически означают признание себя "нематематиком"? Понимаю
> Или так: "какая разница, во что верить: в таблицу умножения (следствие) или в аксиоматику Пеано (предпосылка)?".
Ну, в общем, чисто количественная.
А какая разница во что верить - в то, что тебя распределят в рай, или в то, что некое "правильное" поведение это повлечет?
Я бы сформулировал свою позицию так: не надо верить ни в аксиоматику Пеано, ни в 2х2=4. Надо знать (= уметь самому или поверить другим людям что посредством некоторых, достаточно популярных среди математиков, правил можно из аксиом вывести тождество.
А верить (или _не_ верить) надо в то, что при обратном переносе тождества 2х2=4 из мат.моделей в жизнь, оно при правильно оговоренной погрешности (а иногда абсолютно точно) будет выполнено.
> Дай, я попробую приладить эту мысль к твоему рассуждению о математиках и нематематиках:
"Нематематики верят в то, что таблица умножения верна. Математики копают глубже, находят там аксиоматику Пеано и начинают верить в нее. Так или иначе, но и те и другие верят в то, что 2*2=4, только математики считают, что они обосновали свою веру, хотя на самом деле просто они просто __изобрели__ механизм, с помощью которого получается что 2*2=4 и верят в этот механизм".
Давай править:
"Нематематики верят в то, что таблица умножения верна. Некоторые математики копают глубже, находят там аксиоматику Пеано и начинают верить в нее. Некоторые копают еще глубже, вплоть до тех, которые убеждаются в том, что "дна нет". Так или иначе, все они верят в то, что 2*2=4, различаясь только глубиной убежденности в своей вере. Те, которые считают, что они обосновали свою веру, на самом деле просто "изобрели" механизм, с помощью которого получается что 2*2=4. Но опыт показывает, что этот механизм позволяет получать ряд результатов как интересных с точки зрения практики, так и востребованных учеными-теоретиками".
> > Ты не согласен, что мы опять пишем одно и то же? Я не умею спорить в такой ситуации
> я просто никак не пойму, что же ты хочешь сказать словами "я разобрался в ..." и "я выбрал для себя ...".
Нет, "одно и то же" не относилось к "разобрался и выбрал".
Пожалуй, я возьму небольшой тайм-аут на формулировку того, что я хочу этим сказать. Надеюсь, будет не очень плохо, если я подправлю эти неудобоваримые слова
Очень много слов, но все не по делу.
>> Ну вообще-то изначально спор предлагался немного на другую тему, ну да ладно.
>Давай и на другую тоже. Ты о брадобрее или о чем?
А я о том, что в самой глубине всего стоит вера. Поэтому весь фундамент современной науки построен на ВЕРЕ. Что несколько сбивает с толку, не правда ли? Особенно, когда некоторыми приверженцами науки подчеркивается глубокая и принципиальная разница между "знать" (т.е. уметь вывести это научными методами) и "верить" (т.е. просто принять это, как одобренное и принятое большинством).
-----------------------------------------------------------------------------------------
Ну а теперь по мелочи:
> Скажем аккуратно: я поверил тем людям и книгам, которые утверждают существование непротиворечивой модели для этой аксиоматики.
Вот и я о том же.
> Понимаю ли я, что эти слова автоматически означают признание себя "нематематиком"? Понимаю
Неправильно понимаешь. Раньше я уже писал, что причисляю себя к математикам.
Я же это про _себя_ сказал!
_Д
> Я бы сформулировал свою позицию так: не надо верить ни в аксиоматику Пеано, ни в 2х2=4. Надо знать (= уметь самому или поверить другим людям что посредством некоторых, достаточно популярных среди математиков, правил можно из аксиом вывести тождество.
Переформулирую: "Надо найти тот уровень глубины объяснений, который удовлетворит тебя (или когда тебе надоесть копать глубже) и поверить в него"
То, что все уровни таким чудесным образом подтверждают друг друга и правда удивительно. Но было бы еще удивительнее, если бы механизмы -=придуманные=- людьми для получения классической таблицы умножение получали бы нечто совсем другое
. Я думаю, что как следует поднапрягшись, можно придумать вполне стройную теорию, из которой будет следовать что 2*2=5. Это тебе к вопросу об абсолютности знания.
> Некоторые копают еще глубже, вплоть до тех, которые убеждаются в том, что "дна нет".
Совершенно верно. Придумывать теории можно до бесконечности
> Но опыт показывает, что этот механизм позволяет получать ряд результатов как интересных с точки зрения практики, так и востребованных учеными-теоретиками
Правда, опыт не показывает, какие результаты мы получили бы, если бы пользовались теорией, из которой следует что 2*2=5. Но наверняка результаты были бы не менее "интересными".
Сухой остаток: невозможно найти теорию, или закон, или набор аксиом, про который будет точно известно что он истинен. Рано или поздно, для того чтобы принять весь аппарат математики (как впрочем и любой другой науки) тебе придется просто ПОВЕРИТЬ в какую-то ее часть. Остальная часть будет стройно из нее следовать - об этом позаботились поколения математиков. Еще раз повторю свою мысль: "весь фундамент современной науки построен на ВЕРЕ".
P.S. Пожалуйста, хватит проецировать на меня то, что я здесь говорю. То, что я здесь привожу некоторые идеи, вовсе не означает что я ими руководствуюсь по жизни. Спор - это всего лишь спор, игра ума.
Прошу прощения, подробно отвечу вечером, а сейчас исправил пару моих собственных очепяток (в цитатах а то глаз режут, и строку синенькую добавил насчет понимания.
_Д
>> Ну вообще-то изначально спор предлагался немного на другую тему, ну да ладно.
>Давай и на другую тоже. Ты о брадобрее или о чем?
А я о том, что в самой глубине всего стоит вера. Поэтому весь фундамент современной науки построен на ВЕРЕ. Что несколько сбивает с толку, не правда ли? Особенно, когда некоторыми приверженцами науки подчеркивается глубокая и принципиальная разница между "знать" (т.е. уметь вывести это научными методами) и "верить" (т.е. просто принять это, как одобренное и принятое большинством).
-----------------------------------------------------------------------------------------
Ну а теперь по мелочи:
> Скажем аккуратно: я поверил тем людям и книгам, которые утверждают существование непротиворечивой модели для этой аксиоматики.
Вот и я о том же.
> Понимаю ли я, что эти слова автоматически означают признание себя "нематематиком"? Понимаю
Неправильно понимаешь. Раньше я уже писал, что причисляю себя к математикам.
Я же это про _себя_ сказал!
_Д
> Я бы сформулировал свою позицию так: не надо верить ни в аксиоматику Пеано, ни в 2х2=4. Надо знать (= уметь самому или поверить другим людям что посредством некоторых, достаточно популярных среди математиков, правил можно из аксиом вывести тождество.
Переформулирую: "Надо найти тот уровень глубины объяснений, который удовлетворит тебя (или когда тебе надоесть копать глубже) и поверить в него"
То, что все уровни таким чудесным образом подтверждают друг друга и правда удивительно. Но было бы еще удивительнее, если бы механизмы -=придуманные=- людьми для получения классической таблицы умножение получали бы нечто совсем другое
. Я думаю, что как следует поднапрягшись, можно придумать вполне стройную теорию, из которой будет следовать что 2*2=5. Это тебе к вопросу об абсолютности знания.> Некоторые копают еще глубже, вплоть до тех, которые убеждаются в том, что "дна нет".
Совершенно верно. Придумывать теории можно до бесконечности
> Но опыт показывает, что этот механизм позволяет получать ряд результатов как интересных с точки зрения практики, так и востребованных учеными-теоретиками
Правда, опыт не показывает, какие результаты мы получили бы, если бы пользовались теорией, из которой следует что 2*2=5. Но наверняка результаты были бы не менее "интересными".
Сухой остаток: невозможно найти теорию, или закон, или набор аксиом, про который будет точно известно что он истинен. Рано или поздно, для того чтобы принять весь аппарат математики (как впрочем и любой другой науки) тебе придется просто ПОВЕРИТЬ в какую-то ее часть. Остальная часть будет стройно из нее следовать - об этом позаботились поколения математиков. Еще раз повторю свою мысль: "весь фундамент современной науки построен на ВЕРЕ".
P.S. Пожалуйста, хватит проецировать на меня то, что я здесь говорю. То, что я здесь привожу некоторые идеи, вовсе не означает что я ими руководствуюсь по жизни. Спор - это всего лишь спор, игра ума.
Прошу прощения, подробно отвечу вечером, а сейчас исправил пару моих собственных очепяток (в цитатах а то глаз режут, и строку синенькую добавил насчет понимания.
_Д
Анборн, если не секрет - Вы высшее образование по какой(каким) специальности(специальностям) получили?
Он постоянно Форум не читает (или этот раздел надо ему приватом напоминать. Я вечером буду отвечать в этом треде, тогда ему напомню. Т.е. если несрочно, просто жди.
Поэтому весь фундамент современной науки построен на ВЕРЕ. Что несколько сбивает с толку, не правда ли?
Неправда! с) В.И.Арнольд) Я предпочитаю жить в современном здании на фундаменте, а не в тростниковой хижине, что бы там ни было под тремя слонами и черепахой.
Надо найти тот уровень глубины объяснений, который удовлетворит тебя (или когда тебе надоест копать глубже) и поверить в него
В целом, да. Только не "в него", а "в них", и я бы еще добавил в конец "или не поверить".
Правда, опыт не показывает, какие результаты мы получили бы, если бы пользовались теорией, из которой следует что 2*2=5. Но наверняка результаты были бы не менее "интересными".
Не знаю, мне евклидова геометрия пока что интереснее геометрии Лобачевского (хотя обе они занимательны). На сей раз не уверен в твоей правоте. Это, конечно, напоминает "колумбово яйцо", но - you are welcome, попробуй такую теорию "набросать"
Сухой остаток: невозможно найти теорию, или закон, или набор аксиом, про который будет точно известно что он истинен.
Какой-то у тебя остаток получился безмерно глубокий, не "сухой", а прям марианский. Сразу так и не ответишь. А не мог бы ты сформулировать, что означает "истинен" в твоем понимании?
ЗЫ Насчет "проецирования" не вижу за собой такого греха.
>Сухой остаток: невозможно найти теорию, или закон, или набор аксиом, про который будет точно известно что он истинен.
Хе, истина, в истинности которой невозможно усомниться, найдена ещё Декартом
Хе, истина, в истинности которой невозможно усомниться, найдена ещё Декартом
> Анборн, если не секрет - Вы высшее образование по какой(каким) специальности(специальностям) получили?
Не секрет Я на 5-м курсе ВМК.
2 __Dima:
> Я же это про _себя_ сказал!
Тогда сорри. Добро пожаловать в ряды нематематиков
> Я предпочитаю жить в современном здании на фундаменте, а не в тростниковой хижине, что бы там ни было под тремя слонами и черепахой.
Я тоже . Но к теме это не относится 
> Это, конечно, напоминает "колумбово яйцо", но - you are welcome, попробуй такую теорию "набросать"
Нет, мне пока такая задача не под силу. Но, как ты справедливо заметил, взаимное сосуществование геометрий Евклида и Лобачевского подтверждает возможность построения альтернативных математик.
> А не мог бы ты сформулировать, что означает "истинен" в твоем понимании?
Да, подловил. Невозможно дать истинное определение истины Мое понимание истины таково: истинно то утверждение, в которое ты веришь. Предложи свой вариант
Вообще, похоже потихоньку спор о вере переходит в спор об истине, чего и следовало ожидать.
Не секрет
Я на 5-м курсе ВМК.2 __Dima:
> Я же это про _себя_ сказал!
Тогда сорри. Добро пожаловать в ряды нематематиков
> Я предпочитаю жить в современном здании на фундаменте, а не в тростниковой хижине, что бы там ни было под тремя слонами и черепахой.
Я тоже
. Но к теме это не относится > Это, конечно, напоминает "колумбово яйцо", но - you are welcome, попробуй такую теорию "набросать"
Нет, мне пока такая задача не под силу. Но, как ты справедливо заметил, взаимное сосуществование геометрий Евклида и Лобачевского подтверждает возможность построения альтернативных математик.
> А не мог бы ты сформулировать, что означает "истинен" в твоем понимании?
Да, подловил
. Невозможно дать истинное определение истины Мое понимание истины таково: истинно то утверждение, в которое ты веришь. Предложи свой вариант Вообще, похоже потихоньку спор о вере переходит в спор об истине, чего и следовало ожидать.
>взаимное сосуществование геометрий Евклида и Лобачевского подтверждает возможность построения альтернативных математик.
это звучит странно, так как обе геометрии легко реализуются в ZF, фактически это ещё Риман понял
это звучит странно, так как обе геометрии легко реализуются в ZF, фактически это ещё Риман понял
к тому же, как сказано в начальном учебнике по логике (Мендельсон все аксиоматические системы типа теорий множеств (и классов, а теперь и топосов, которых Мендельсон при написании учебника не включил вкладываются в "чистое" исчисление предикатов
все аксиоматические системы типа теорий множеств (и классов, а теперь и топосов, которых Мендельсон при написании учебника не включил вкладываются в "чистое" исчисление предикатовЧтобы это высказывание стало истинным, слову "вкладываются" придётся придать некоторый довольно нестандартный смысл. Вероятно, подразумевалось, что упомянутые теории являются теориями первого порядка. (Добавление: хотя иногда удобно пользоваться теориями высших порядков, практически нужные фрагменты таких теорий имеют эквивалентное выражение на языке первого порядка).
Дискуссия в целом наводит на мысль, что Арнольд не так уж неправ, говоря, что изложение математики по Бурбаки оказывает деструктивное влияние на неокрепшие умы.
Дискуссия в целом наводит на мысль, что Арнольд не так уж неправ, говоря, что изложение математики по Бурбаки оказывает деструктивное влияние на неокрепшие умы.
Ну, тогда я рад за то, что не зря дискутировал. Я считаю, что по этому вопросу Арнольд прав.
Хотя когда я пишу пособия для школьников, меня иногда упрекают, что получается нечто бурбакообразное. Но только иногда, к счастью.Офтоп
Тебе не кажется, что тема не соответствует тематике раздела.
Во Flood'е ей самое место.
Тебе не кажется, что тема не соответствует тематике раздела.
Во Flood'е ей самое место.
Нет, не кажется. Обоснуй свою точку зрения, пожалуйста.
Study - Учеба и наука
А в этом треде нет ни того ни другого.
А в этом треде нет ни того ни другого.
По моему имху, обсуждаемые вопросы относятся к философии и методологии. То есть, к наукам.
Оно тебе настолько важно - останется ли эта тема здесь, или уйдет во Флуд?
Оно тебе настолько важно - останется ли эта тема здесь, или уйдет во Флуд?
> Это звучит странно, так как обе геометрии легко реализуются в ZF, фактически это ещё Риман понял
Ну и что? Как твои слова опровергают или подтверждают мое основное утверждение?
Ну и что? Как твои слова опровергают или подтверждают мое основное утверждение?
Наверное, rys хотел подчеркнуть единство математики.
И теория, в которой 2х2=5, будучи "правильно" построенной, тоже его не нарушила бы.
И теория, в которой 2х2=5, будучи "правильно" построенной, тоже его не нарушила бы.
ну если не всей, то хотя бы её основ. логических.
(Незабываемое: немецкий профессор-теорфизик, который ввёл какую-то замену переменных и пищал (буквально)
"...this is new mathematics!")
(Незабываемое: немецкий профессор-теорфизик, который ввёл какую-то замену переменных и пищал (буквально)
"...this is new mathematics!")
>> ...вопрос о вере в 2*2=4 мы заменяем на вопрос о вере в аксиоматику Пеано. Итак переформулирую вопрос: "Ты разобрался в аксиоматике >>Пеано, или просто поверил в нее?"
>Скажем аккуратно: я поверил тем людям и книгам, которые утверждают существование непротиворечивой модели для этой аксиоматики. На >самом деле сейчас уже не помню, если модель простая, может, даже я ее когда-то знал.
> К тому же на финише этого копания меня, если верно понимаю, ждет в виде приятного "сюрприза" теорема Геделя о неполноте
Дык правильно ли я понимаю, что непротиворечивость аксиоматики Пеано как раз нельзя доказать собсно из-за теоремы Геделя?
А насчет 2x2 мне логицизм нравится!
>Скажем аккуратно: я поверил тем людям и книгам, которые утверждают существование непротиворечивой модели для этой аксиоматики. На >самом деле сейчас уже не помню, если модель простая, может, даже я ее когда-то знал.
> К тому же на финише этого копания меня, если верно понимаю, ждет в виде приятного "сюрприза" теорема Геделя о неполноте
Дык правильно ли я понимаю, что непротиворечивость аксиоматики Пеано как раз нельзя доказать собсно из-за теоремы Геделя?
А насчет 2x2 мне логицизм нравится!
> Дык правильно ли я понимаю, что непротиворечивость аксиоматики
> Пеано как раз нельзя доказать собсно из-за теоремы Геделя?
К аксиоматике Пеано теорема Гёделя так прямо вообще неприменима (аксиома индукции Пеано - второпорядковое утверждение).
А непротиворечивость формальной арифметики доказать - запросто. Это даже в пресловутом Мендельсоне есть. :-)
> Пеано как раз нельзя доказать собсно из-за теоремы Геделя?
К аксиоматике Пеано теорема Гёделя так прямо вообще неприменима (аксиома индукции Пеано - второпорядковое утверждение).
А непротиворечивость формальной арифметики доказать - запросто. Это даже в пресловутом Мендельсоне есть. :-)
> Это даже в пресловутом Мендельсоне есть. :-)
чёрта с два.
Внимательнее читайте (напр., стр 121, 1976г). Там слово "доказательство" (непротиворечивости арифметики) стоит именно в кавычках и приводится подробное объяснение, что при желании мы можем поверить в эту непротиворечивость
чёрта с два.
Внимательнее читайте (напр., стр 121, 1976г). Там слово "доказательство" (непротиворечивости арифметики) стоит именно в кавычках и приводится подробное объяснение, что при желании мы можем поверить в эту непротиворечивость
Кавычки - личные тараканы Мендельсона, каковой по убеждениям является синтаксистом (о чём честно сказано в "объяснении").
Так кому верить-то? 
Кто-нить еще с логики есть?
Кто-нить еще с логики есть?Вот ведь молодец!
В общем, существуют вполне нормальные с точки зрения, скажем, аналитиков или матфизиков, доказательства непротиворечивости арифметики - а вместе с ней и обычных содержательных теорий множеств (и классов). Другое дело, что эти доказательства не удовлетворяют некоторым усиленным требованиям ("финитизму" выполнения которых требовуют некоторые синтаксисты для интуитивного ощущения полной законченности теории.
Мне понравилась эта игра - кидаешь один пост, а его начинают развивать, причём немеряно. А почему парадокс называют софизмом, я так и не понял.
Ни хрена не понял
имелось в виду, что известные теории множеств всё же непротиворечивы, хотя доказательства этого кажутся неудовлетворительными некоторым излишне придирчивым логикам
Zver22
Здесь предлагается продолжить дискуссию о взаимосвязи веры и математической истины (извините, если тема обозначена неудачно, желающие могут использовать другой