Курс математики в институте международной торговли
Для : рассмотри ряд 1 + 2x + x^2 + 3x^3 + x^4 + 5x^5 + x^6 + 7x^7 + ...
Зачем ты х-ню всякую читаешь?
И ещё ждёшь того, чтобы она была не х-ёй?
И ещё ждёшь того, чтобы она была не х-ёй?
да подрядился за бабло задачки порешать 
nothing personal, just business 
nothing personal, just business а еще там написано c_x x^2!111111111111111111111111
и правда, я и не заметил ну это ладно, это опесатка просто
а вот альтернативное определение радиуса сходимости ряда доставляет
ну и то, что ряд может сходиться на границе круга, авторы тоже не учли
ну это ладно, это опесатка простоа вот альтернативное определение радиуса сходимости ряда доставляет
ну и то, что ряд может сходиться на границе круга, авторы тоже не учли
для - ну возьми другой ряд, почему именно этот?
У твоего ряда даже предела-то нет. А в определении ясно нарисован предел
У твоего ряда даже предела-то нет. А в определении ясно нарисован предел
для - ну возьми другой ряд, почему именно этот?то-то и оно
У твоего ряда даже предела-то нет. А в определении ясно нарисован предел
мой ряд имеет радиус сходимости 1 (посмотри правильное определение в любом нормальном учебнике по матану или википедии а по определению из этого горе-учебника радиус вообще не существуеттак это их определение сходимости. Если так рассуждать, великие математики - горе-авторы, потому что рассматривали вещи, которые не укладывались в тогдашние рамки "правильных определений".
В предпоследнем абзаце они определяют "область сходимости ряда", а во втором - неправильно описывают, из чего состоит "область сходимости ряда"
я уж не говорю о том, что множество сходимости ряда, вообще говоря, не является областью, потому что область - это открытое связное множество
я уж не говорю о том, что множество сходимости ряда, вообще говоря, не является областью, потому что область - это открытое связное множество
по-моему, ты критикуешь их определение за то что оно не совпадает с твоим любимым определением. В чем у них ошибка?
Ты ошибаешься.
Они сначала говорят, что "областью сходимости называется множество точек x, в которых ряд сходится". Вот это - определение. И оно правильное.
Затем они пишут "областью сходимости ЯВЛЯЕТСЯ интервал (-R,R где R определяется по формуле такой-то". И это неверно: во-первых, областью сходимости может быть не только интервал, но и точка, полуинтервал, отрезок или прямая, а во-вторых формула для R неверна, и Гонобобель привел пример: ряд, который, очевидно, сходится как минимум в нуле, а формула для R не имеет смысла.
Они сначала говорят, что "областью сходимости называется множество точек x, в которых ряд сходится". Вот это - определение. И оно правильное.
Затем они пишут "областью сходимости ЯВЛЯЕТСЯ интервал (-R,R где R определяется по формуле такой-то". И это неверно: во-первых, областью сходимости может быть не только интервал, но и точка, полуинтервал, отрезок или прямая, а во-вторых формула для R неверна, и Гонобобель привел пример: ряд, который, очевидно, сходится как минимум в нуле, а формула для R не имеет смысла.
Затем они пишут "областью сходимости ЯВЛЯЕТСЯ интервал (-R,R где R определяется по формуле такой-то". И это неверноа что, интервал НЕ ЯВЛЯЕТСЯ областью сходимости, если выполняется условие существования предела?
Они сначала говорят, что "областью сходимости называется множество точек x, в которых ряд сходится". Вот это - определение. И оно правильное.оно было бы правильным, если вместо "областью" было бы написано "множеством"
Затем они пишут "областью сходимости ЯВЛЯЕТСЯ интервал (-R,R где R определяется по формуле такой-то". И это неверносогласен
во-первых, областью сходимости может быть не только интервал, но и точка, полуинтервал, отрезок или прямаяверно
а во-вторых формула для R неверна, и Гонобобель привел пример: ряд, который, очевидно, сходится как минимум в нуле, а формула для R не имеет смысла.ЛЮБОЙ степенной ряд сходится в нуле
а мой ряд сходится и при x=1/2, например
насчет "формула для R" не имеет смысла не соглашусь. формула имеет смысл, и утверждает, что радиуса сходимости просто НЕТ. не что он равен нулю, а что его НЕТ, потому что предела НЕТ. конечно, формула от этого верной не становится, потому что на самом деле для любого степенного ряда радиус сходимости ЕСТЬ, при любых, вообще любых вещественных или комплексных коэффициентах. если радиус равен бесконечности, то тоже считается, что он есть
впрочем, их формула для R настолько плоха, что легко придумать ряд, при котором она не будет иметь смысла. в школе говорят, что формула не имеет смысла, если мы делаем какое-то запрещённое действие, например, делим на ноль. деление на ноль возникнет при попытке применить их формулу к ряду
x + x^3 + x^5 + x^7 + ...
а что, интервал НЕ ЯВЛЯЕТСЯ областью сходимости, если выполняется условие существования предела?рассмотри ряд -x + (1/2)x^2 - (1/3)x^3 + (1/4)x^4 - (1/5)x^5 + (1/6)x^6 - (1/7)x^7 + ...
оно было бы правильным, если вместо "областью" было бы написано "множеством"Не надо иезуитствовать. "Область определения" функции - это тоже не всегда область в топологическом смысле. Так же как и Московская область.
ЛЮБОЙ степенной ряд сходится в нулеТвой ряд вообще молодец, он и при x=e/pi сходится, но это не требуется для моего утверждения. Мне достаточно, что область сходимости не пуста, а приведенная формула не определяет никакого множества.
а мой ряд сходится и при x=1/2, например
Не надо иезуитствовать. "Область определения" функции - это тоже не всегда область в топологическом смысле. Так же как и Московская область.
"область определения" и "область значений" --- устоявшиеся понятия, исключения
во всех остальных случаях область - это открытое связное множество
хорошо, давай так повернём: у них было два варианта: написать так, чтобы неоднозначностей не возникло, и так, как они написали. был выбран второй вариант, хотя первый был совершенно доступен. почему? да потому что авторы, вероятно, даже не знакомы со значением слова "область"
такие вот преподаватели у будущих экономистов у нас Твой ряд вообще молодец,так и передам ему
он и при x=e/pi сходится, но это не требуется для моего утверждения. Мне достаточно, что область сходимости не пуста, а приведенная формула не определяет никакого множества.я скорее склонен считать, что приведённая формула как раз определяет пустое множество, т.е. говорит, что R в принципе не существует
не определяет никакого множества, например, такая запись A = {x: x=x} --- это универсум, класс всего на свете, его не считают множеством из-за опасности возникновения парадокса Рассела, а он возникнет, если мы разрешим аксиому выделения
впрочем, это уже мелочи
спасибо, что поддержал беседу, глядишь, кто-то прочитает наши писаки и вспомнит какие-то вещи про ряды
рассмотри ряди что? Рассмотрел, он сходится
при каких х?
найди все вещественные х, при которых он сходится
деление на ноль возникнет при попытке применить их формулу к рядуне возникает.
при 0.99 сходится?
заметил ещё косяк: в первом посте в картинке индекс суммирования начинается с 1 справа, а слева с 0
теперь к твоему утверждению:
x + x^3 + x^5 + x^7 + ... = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + c_4x^4 + c_5x^5 + c_6x^6 + c_7x^7 + ...
отсюда:
c_0=0
c_1=1
c_2=0
c_3=1
c_4=0
c_5=1
c_6=0
c_7=1
выражение | с_1/c_2| не определено - деление на ноль. ну и счетное множество подобных неопределённостей
теперь к твоему утверждению:
не возникает.что-то ты совсем невнимателен сегодня. давай приведём мой ряд к их обозначениям:
x + x^3 + x^5 + x^7 + ... = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + c_4x^4 + c_5x^5 + c_6x^6 + c_7x^7 + ...
отсюда:
c_0=0
c_1=1
c_2=0
c_3=1
c_4=0
c_5=1
c_6=0
c_7=1
выражение | с_1/c_2| не определено - деление на ноль. ну и счетное множество подобных неопределённостей
при 0.99 сходится?да
вот тебе задача из курса матана, второй курс, первый семестр, должна быть самой лёгкой на зачёте: при каких значениях вещественного параметра х сходится ряд -x + (1/2)x^2 - (1/3)x^3 + (1/4)x^4 - (1/5)x^5 + (1/6)x^6 - (1/7)x^7 + ...
выражение | с_1/c_2| не определено - деление на нольну а где в их формуле это написано? Что нужно делить именно с_1 на с_2? Так что это ты что-то невнимателен.
даа при -0.99 сходится? а при -1.01 сходится?
вот тебе задача
что-то мне тоже захотелось вести дискуссию в рамках задавания задач, а не написания обоснований своим высказываниям.
ты издеваешься, что ли?
там надо делить c_n на c_{n+1} для каждого натурального n, чтобы получить последовательность, предел которой надо найти. так вот половина членов этой последовательности это 1/0 - не определено, а вторая половина это 0/1 - это 0.
отойду от компа минут на 40
там надо делить c_n на c_{n+1} для каждого натурального n, чтобы получить последовательность, предел которой надо найти. так вот половина членов этой последовательности это 1/0 - не определено, а вторая половина это 0/1 - это 0.
отойду от компа минут на 40
так вот половина членов этой последовательности это 1/0 - не определено, а вторая половина это 0/1 - это 0.что такое за последовательность, состоящая из неопределенных членов ?
То-то. Последовательность там только одна, из чисел {0,0,0,0,0,...}
а при -0.99 сходится? а при -1.01 сходится?хватит угадывать
пользуясь теоремой Коши-Адамара, найди радиус сходимости http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%F0%F3%E3_%F1%F5%EE%E4%E8%E...в пограничных точках R и -R исследуй сходимость числового ряда отдельно (хотя бы с помощью wolframalpha если всё забыл
если не забыл, то с помощью интегрального признака сходимости рядов с неотрицательными членами и теоремы Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов
на основе этого сделай вывод о том, каково множество сходимости этого ряда, и является ли оно интервалом
всё, теперь точно ушёл
что такое за последовательность, состоящая из неопределенных членов ?просто набор символов, не обозначающий ничего. если подойти с программистской точки зрения, то это последовательность 0, NAN, 0, NAN, 0, NAN, 0, ...
То-то. Последовательность там только одна, из чисел {0,0,0,0,0,...}даже если принять твою совершенно неверную интерпретацию, их формула всё равно не даёт правильный ответ, ибо радиус сходимости моего ряда равен 1
вот теперь совсем точно ушёл минут на 40
менторский тон вряд ли сделает общение продуктивным. Видимо, сказывается привычка к общению с учащимися.
Так вот, пишу по памяти(! википедию не смотрел)
ряд сходится _абсолютно_, если сходятся модули. А модули ох как сходятся, как геометрическая прогрессия. И расходятся так же.
Итак, ты утверждаешь, что на интервале, определенном их формулой (-1,1) ряд НЕ СХОДИТСЯ?
Так вот, пишу по памяти(! википедию не смотрел)
ряд сходится _абсолютно_, если сходятся модули. А модули ох как сходятся, как геометрическая прогрессия. И расходятся так же.
Итак, ты утверждаешь, что на интервале, определенном их формулой (-1,1) ряд НЕ СХОДИТСЯ?
просто набор символов, не обозначающий ничего. если подойти с программистской точки зрения, то это последовательность 0, NAN, 0, NAN, 0, NAN, 0, ...опять иезуитство.
их формула всё равно не даёт правильный ответ, ибо радиус сходимости моего ряда равен 1
твой ряд опять не удовлетворяет их условию. Естественно что их формула дает на твоем ряде неверный ответ - она на нем неприменима по условию.
менторский тон вряд ли сделает общение продуктивным. Видимо, сказывается привычка к общению с учащимися.извини, но ты сам меня провоцируешь своим подковыристым тоном Фомы Неверующего
кроме того, ты не знаком с фактами. рассказываю их как могу корректно, хотя бы без выглядящих риторическими вопросов, вместо них я даю указания, что ты можешь сделать, чтобы разобраться в вопросе Так вот, пишу по памяти(! википедию не смотрел)верно
ряд сходится _абсолютно_, если сходятся модули.
А модули ох как сходятся, как геометрическая прогрессия. И расходятся так же.так сходятся или расходятся?
или ты говоришь о сходимости и расходимости при различных х? почему ты рассматриваешь только абсолютную сходимость, ведь в природе существует ещё и условная (на ней-то в моём примере и ведётся вся игра)? и какой ряд ты имеешь в виду?давай тогда договоримся об обозначениях для рядов, а то что-то много рядов стало
ряд А это 1 + 2x + x^2 + 3x^3 + x^4 + 5x^5 + x^6 + 7x^7 + ...
ряд Б это x + x^3 + x^5 + x^7 + ...
ряд В это -x + (1/2)x^2 - (1/3)x^3 + (1/4)x^4 - (1/5)x^5 + (1/6)x^6 - (1/7)x^7 + ...
Итак, ты утверждаешь, что на интервале, определенном их формулой (-1,1) ряд НЕ СХОДИТСЯ?все три ряда А, Б, В сходятся на (-1,1). но есть ли ещё точки х вещественной прямой, в которых они сходятся? предлагаю ответить на этот вопрос отдельно для каждого ряда тебе (или форумчанам). думаю, в процессе самостоятельного исследования ты поймёшь всё гораздо быстрее, чем если бы я просто сказал ответ.
твой ряд опять не удовлетворяет их условию.насколько я вижу из их дурацкого текста, они не налагают на коэффициенты ряда никаких условий, т.е. любые вещественные числа могут быть коэффициентами степенного ряда. и это правильно, так и должно быть; в прочем, наибольший интерес степенные ряды представляют при комплексных коэффициентах. некоторые умельцы рассматривают степенные ряды вообще с коэффициентами из кольца, но я таким трюкам не обучен
Естественно что их формула дает на твоем ряде неверный ответ - она на нем неприменима по условию.между тем, радиус сходимости существует у КАЖДОГО степенного ряда
и то, что левая часть равенства (R) и правая часть равенства (их предел) определены на разных множествах рядов, как раз и указывает на то, что формула не может быть определением для R. да, и посмотри уже правильное определение для R в википедии
собственно, для этого я и стараюсь глядишь, и ты меня элементарной физике потом как-нибудь поучишь Видимо, сказывается привычка к общению с учащимися.скорее, с коллегами, упорствующими в своих заблуждениях
может быть, именно за это тебе и ставят минусы (я ни одного не поставил). впрочем, таких коллег у меня крайне мало.Должно быть что-то в духе:
Если существует предел R=a_n/a_{n+1} <1 - то радиус сходимочти - это (-R,R +, возможно,границы включены, которые нужно исследовать отдельно ?
Это признак Даламбера вроде даже ?
Если существует предел R=a_n/a_{n+1} <1 - то радиус сходимочти - это (-R,R +, возможно,границы включены, которые нужно исследовать отдельно ?
Это признак Даламбера вроде даже ?
Будь мужиком, напиши автору лекций что определение расходится с классическим, ну и укажи заодно на опечатки...
Будь мужиком, напиши автору лекций что определение расходится с классическим, ну и укажи заодно на опечатки...слишком большая работа, увы. там ошибки и опечатки на каждой странице
просто вызови подлеца на дуэль!
кроме того, ты не знаком с фактами.ну вот, разве приятен твой посыл, что ты разбираешься в вопросе, а я - нет.
Жаль, что ты невнимательно прочел мой пост
так это их определение сходимости. Если так рассуждать, великие математики - горе-авторы, потому что рассматривали вещи, которые не укладывались в тогдашние рамки "правильных определений".
Вот ДРПР сходу отметил, что у них _другое_ определение сходимости. Я же тебе задавал вопрос является ли оно внутренне противоречивым. Если нет - то оно не может быть _неверным_.
некоторые умельцы рассматривают степенные ряды вообще с коэффициентами из кольца, но я таким трюкам не обученЯ например рассматриваю тут коэффициенты из симметрической алгебры, для полиномов определенных на массовой поверхности некоторой гамильтоновой системы. В частности, с_n и х могут и не иметь права обращаться в нуль. Поэтому, твои замечательные примеры из R там не работают.
И что-то в определении данном в этом учебнике не сказано, что c_n и x - обязательно из R.
Мне их определение понравилось универсальностью. Когда у нас нет многих свойств, которыми обладает R, их определение может сохранять смысл и работать. Вот этот более интересный вопрос и хотелось выяснить, а не решать тривиальные задачки.
так толсто троллишь, или тормозишь просто?
ты - ученый или преподаватель?
ну вот, разве приятен твой посыл, что ты разбираешься в вопросе, а я - нет.от системы ценностей зависит, от твоего психологического настроя
ты можешь гневаться и завидовать, что кто-то в чём-то превзошёл тебя, пусть и на самую малость
а можешь радоваться, что можешь бесплатно учиться у доброжелательного грамотного товарища
выбор за тобой
Мне их определение понравилось универсальностью.в чем универсальность, если даже не любые вещественные числа могут быть коэффициентами ряда?
если сделаешь вот это упражнение, сразу многое прояснится, мне кажется:
ряд А это 1 + 2x + x^2 + 3x^3 + x^4 + 5x^5 + x^6 + 7x^7 + ...
ряд Б это x + x^3 + x^5 + x^7 + ...
ряд В это -x + (1/2)x^2 - (1/3)x^3 + (1/4)x^4 - (1/5)x^5 + (1/6)x^6 - (1/7)x^7 + ...
все три ряда А, Б, В сходятся на (-1,1). но есть ли ещё точки х вещественной прямой, в которых они сходятся? предлагаю ответить на этот вопрос отдельно для каждого ряда тебе (или форумчанам). думаю, в процессе самостоятельного исследования ты поймёшь всё гораздо быстрее, чем если бы я просто сказал ответ.
Я вот тут столкнулся с задачами с экономфака МГУ, где про разные последовательности спрашивалось, обладают ли они кучей всяких свойств - бесконечно малые ли, бесконечно большие ли, и так далее.
И последним пунктом шло "у них существует монотонная подпоследовательность?"
И последним пунктом шло "у них существует монотонная подпоследовательность?"
Ну, слава Богу, хоть в МГУ пока ещё хоть чему-то учат
Ммм? Меня наоборот этот вопрос неприятно удивил.
Что подразумевалось при этом?
Доказать, что у любой последовательности существует монотонная подпоследовательность? Тогда почему не выделить этот факт отдельной задачей?
Или для каждой из 16 последовательностей отдельно подразумевалось, что студент будет долго и нудно выуживать из них монотонную подпоследовательность?
Что подразумевалось при этом?
Доказать, что у любой последовательности существует монотонная подпоследовательность? Тогда почему не выделить этот факт отдельной задачей?
Или для каждой из 16 последовательностей отдельно подразумевалось, что студент будет долго и нудно выуживать из них монотонную подпоследовательность?
выбор за тобойда нет, за тобой
в чем универсальность, если даже не любые вещественные числа могут быть коэффициентами ряда?это плата за возможность рассматривать не вещественные числа в качестве коэффициентов. Если определение учитывает специфические свойства вещественных чисел, то как оно будет работать в случае когда у коэффициентов не будет этих специфических свойств?
если сделаешь вот это упражнение, сразу многое прояснится, мне кажется:Так вот, у меня получилось следующее:
ряд А сходится для любого элемента конечномерной внешней алгебры
Ряд Б сходится для элементов 1,-1 Z_2 градуированной алгебры
Ряд В приведен в википедии, не хочу переписывать оттуда ответ=)
Ну проверяйте, я ж не математик(
ряд А сходится для любого элемента конечномерной внешней алгебрыдавай пока без высочайшей математики, сначала разберемся с вещественным х. для каких вещественных х сходятся эти ряды?
Ряд Б сходится для элементов 1,-1 Z_2 градуированной алгебры
Ряд В приведен в википедии, не хочу переписывать оттуда ответ=)
выбор за тобойза твои эмоции и твоё отношение к миру отвечаешь ты и только ты
да нет, за тобой
Ммм? Меня наоборот этот вопрос неприятно удивил.Кажется, я невнимательно прочитал или неправильно понял твой пост. Получается, что этот пункт есть во всех вопросах, поэтому кто знает теорему, о которой ты говоришь, тот получит сразу + много правильных ответов, потому что такой пункт есть в каждом вопросе? Ну, может, это не так уж и плохо... Хз какая на экономфаке политика оценивания решений.
Что подразумевалось при этом?
Доказать, что у любой последовательности существует монотонная подпоследовательность? Тогда почему не выделить этот факт отдельной задачей?
Или для каждой из 16 последовательностей отдельно подразумевалось, что студент будет долго и нудно выуживать из них монотонную подпоследовательность?
Естественное обычное определение сходимости и суммы ряда позволяет брать коэффициенты ряды из топологической абелевой группы (синоним: непрерывной абелевой группы т.е. абелевой группы с топологией, причём сложение непрерывно. Так, можно рассматривать ряды в топологических векторных пространствах. В нормированных, банаховых, евклидовых, гильбертовых пространствах. Это обычное и понятное дело.в чем универсальность, если даже не любые вещественные числа могут быть коэффициентами ряда?
это плата за возможность рассматривать не вещественные числа в качестве коэффициентов. Если определение учитывает специфические свойства вещественных чисел, то как оно будет работать в случае когда у коэффициентов не будет этих специфических свойств?
Ряды с коэффициентами более общего вида лично я считаю формальными. Но я в таких обобщениях не специалист.
давай пока без высочайшей математики, сначала разберемся с вещественным х. для каких вещественных х сходятся эти ряды?разве не очевидно?
за твои эмоции и твоё отношение к миру отвечаешь ты и только тыа я не про это говорил
разве не очевидно?просто напиши уже ответ на тот вопрос, который я задал
не хочу, мне это неинтересно.
мои предложения перевести вопрос в другую плоскость, в свою очередь, не нашли интереса у тебя.
жаль.
мои предложения перевести вопрос в другую плоскость, в свою очередь, не нашли интереса у тебя.
жаль.
не хочу, мне это неинтересно.давай начнём с того, что ты разберешься в том, как сходятся обычные числовые ряды, а потом уже поговорим о возможных разумных обобщениях
мои предложения перевести вопрос в другую плоскость, в свою очередь, не нашли интереса у тебя.
жаль.
иначе это примерно то же самое, что обсуждение алгебры матриц при неумении складывать и умножать обычные числа
если что-то непонятно на каком-то этапе исследования числового ряда - спрашивай, отвечу
давай начнём с того, что ты разберешься в том, как сходятся обычные числовые рядыя в этом вопросе разбираюсь.
Мы можем двигаться дальше
я в этом вопросе разбираюсь.не похоже. но ты можешь меня попытаться убедить, если скажешь ответ
за: минусы тебе ставлю не я
не похоже. но ты можешь меня попытаться убедить, если скажешь ответЕсли бы ты хотел убедиться, ты бы обсуждал мои ответы, которые я дал выше.
По-моему, все, что могло быть сказано для общественности в этой теме давно прозвучало, а ваши личные пиписькомеренья можно перенести в приваты, гарбедж или на худой случай во флуд.
не надо тут!
Тема изначально флудовая
Тема изначально флудовая
Напишу про сходимость в общепринятом смысле О1.
ряд А это 1 + 2x + x^2 + 3x^3 + x^4 + 5x^5 + x^6 + 7x^7 + ...
ряд Б это x + x^3 + x^5 + x^7 + ...
ряд В это -x + (1/2)x^2 - (1/3)x^3 + (1/4)x^4 - (1/5)x^5 + (1/6)x^6 - (1/7)x^7 + ...
Из теоремы Коши-Адамара и того, что n^(1/n) -----> 1, следует, что радиус сходимости всех трех рядов 1. Т.е. все они сходятся при x из (-1,1) и расходятся вне [-1,1]. Осталось исследовать поведение этих рядов в точках 1 и -1
1 + 2x + x^2 + 3x^3 + x^4 + 5x^5 + x^6 + 7x^7 + ... при х=1 и х=-1 расходится, потому что общий член не стремится к нулю
x + x^3 + x^5 + x^7 + ... при х=1 и х=-1 расходится, потому что общий член не стремится к нулю
теперь о ряде В.
-x + (1/2)x^2 - (1/3)x^3 + (1/4)x^4 - (1/5)x^5 + (1/6)x^6 - (1/7)x^7 + ... при х = -1
принимает вид 1 +1/2 + 1/3 + 1/4 + ... --- расходится, т.к. это гармонический ряд (его расходимость можно установить с помощью интегрального признака, например)
-x + (1/2)x^2 - (1/3)x^3 + (1/4)x^4 - (1/5)x^5 + (1/6)x^6 - (1/7)x^7 + ... при х = 1
принимает вид -1 +1/2 - 1/3 + 1/4 ... --- сходится по признаку Лейбница
Итого, получаем такие множества сходимости в общепринятом смысле О1:
Ряд А (-1,1)
Ряд Б (-1,1)
Ряд В (-1,1]
ряд А это 1 + 2x + x^2 + 3x^3 + x^4 + 5x^5 + x^6 + 7x^7 + ...
ряд Б это x + x^3 + x^5 + x^7 + ...
ряд В это -x + (1/2)x^2 - (1/3)x^3 + (1/4)x^4 - (1/5)x^5 + (1/6)x^6 - (1/7)x^7 + ...
Из теоремы Коши-Адамара и того, что n^(1/n) -----> 1, следует, что радиус сходимости всех трех рядов 1. Т.е. все они сходятся при x из (-1,1) и расходятся вне [-1,1]. Осталось исследовать поведение этих рядов в точках 1 и -1
1 + 2x + x^2 + 3x^3 + x^4 + 5x^5 + x^6 + 7x^7 + ... при х=1 и х=-1 расходится, потому что общий член не стремится к нулю
x + x^3 + x^5 + x^7 + ... при х=1 и х=-1 расходится, потому что общий член не стремится к нулю
теперь о ряде В.
-x + (1/2)x^2 - (1/3)x^3 + (1/4)x^4 - (1/5)x^5 + (1/6)x^6 - (1/7)x^7 + ... при х = -1
принимает вид 1 +1/2 + 1/3 + 1/4 + ... --- расходится, т.к. это гармонический ряд (его расходимость можно установить с помощью интегрального признака, например)
-x + (1/2)x^2 - (1/3)x^3 + (1/4)x^4 - (1/5)x^5 + (1/6)x^6 - (1/7)x^7 + ... при х = 1
принимает вид -1 +1/2 - 1/3 + 1/4 ... --- сходится по признаку Лейбница
Итого, получаем такие множества сходимости в общепринятом смысле О1:
Ряд А (-1,1)
Ряд Б (-1,1)
Ряд В (-1,1]
Все правильно.
Кстати если б я написал ответ то написал бы что ряд В сходится в -1 а не в 1. Мне почему-то казалось, что именно в этой точке он знакочередующийся. Что-то я забыл как умножать на -1 =(
Кстати если б я написал ответ то написал бы что ряд В сходится в -1 а не в 1. Мне почему-то казалось, что именно в этой точке он знакочередующийся. Что-то я забыл как умножать на -1 =(
wins!
Flawless victory
Flawless victory
кстати был бы признателен если б ты пояснил мне какой радиус сходимости у ряда с коэффициентами c_n=1/sin(n+1)
Это уже за пределами моего понимания о рядах.
Это уже за пределами моего понимания о рядах.
Кстати если б я написал ответа чего ж не написал? или ты всерьёз думал, что я не знаю, как найти множество сходимости рядов, которые я специально придумал так, чтобы они имели удобное мне для примера множество сходимости?
кстати был бы признателен если б ты пояснил мне какой радиус сходимости у ряда с коэффициентами c_n=1/sin(n+1)это трудный вопрос, я не знаю ответа
Это уже за пределами моего понимания о рядах.
вроде как были какие-то исследования по теории чисел, и там доказывалость, что предел n^k / sin(n) при n--->\infty конечен при каком-то к, но я не уверен
не моя область компетенции
Это не по рядам вопрос, а по теории чисел - есть ли для сходящаяся к пи последовательности рациональных чисел m_i/n_i, такая что |m_i/n_i-pi|<x^{n_i} для какого-то x<1.
Интуитивно кажется, что нет.
Но доказывать это дело неприятное, про цепные дроби для пи вроде ничего хорошего неизвестно
Интуитивно кажется, что нет.
Но доказывать это дело неприятное, про цепные дроби для пи вроде ничего хорошего неизвестно
Что-то чушь какая-то написана. Наверное, все-таки, нижний предел n^k sin n больше 0
Не возьмусь утверждать наверняка, слышал краем уха.
tester1
Открыл лекционный материал, по которому студенты должны изучать математику, ещё раз (в прошлый раз, если помните, там встретилось определение предела функции, ещё спрашивал, где же лопата?