Задачи на собеседование в физматшколу

svetik5623190

Устное собеседование 8 класс
1. Расставьте скобки в равенстве: 1:2:3:4:5:6:7:8:9:10=7, чтобы оно стало верным.
2. Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за один день, второй – за два дня, третий – за три дня, четвертый – за 4 дня. За какое время наполнят бассейн все четыре источника?
3. В одном месяце три среды пришлись на четные числа. Какого числа в этом месяце будет второе воскресенье?
4. В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом сначала на 20%, а затем еще на 25%. Где молоко стало стоить дешевле? Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же.
5. 10 апреля 1998 года - пятница. Какой день недели был 23 мая 2003 года?
задача из другого варианта устного собеседования:
Верно ли, что число 199.6 (1996^1996 - 1) – целое?
эту задачку я сам решить за полчаса не смог, но после того, как мне объяснили, моментально придумал аналогичную, с решением:
Верно ли, что число 199.5 (1995^1995 - 1) – целое?
элегантных способов решения задач с номерами 1, 3, 5 не знаю до сих пор!

svetik5623190

3. В одном месяце три среды пришлись на четные числа. Какого числа в этом месяце будет второе воскресенье?

Так, это решили. Остаётся 1 и 5.

cshybr09

Верно ли, что число 199.6 (1996^1996 - 1) – целое?

решил за 30 секунд

svetik5623190

красавец! я оч долго тупил.

cshybr09

поясни условие первой задачи

svetik5623190

в задаче 1 везде стоит деление :
надо только добавить скобки

svetik5623190

5. 10 апреля 1998 года - пятница. Какой день недели был 23 мая 2003 года?

решили
остаётся задача с делением

svetik5623190

поясни условие первой задачи

1. Расставьте скобки в равенстве: 1:2:3:4:5:6:7:8:9:10=7, чтобы оно стало верным.
я понял это так, что, не убирая знаков деления, надо в левой части равенства порасставить скобки так, чтобы равенство стало верным.

Serg1912

А находится где 2007-ая территориально?

svetik5623190

в Бутово
http://fmsh2007.ru

shale60

все задачки, кроме, наверное первой - стандартные задачки из всяких сборников а-ля занимательная/олимпиадная математика для 7-9 классов.
2,3,4,5 в немнго разных формулировках видел десятки раз, например их часто дают на всяких региональных олимпиадах(в слабых городах-городская, в Москве например - окружная).
5 например делается через остатки(дней за 10 апреля 98-10 апреля 2003 365*5+1(за високосность) смотрим остаток при делении на 7, сдвигаем, смотрим день недели, и остается несколько недель)
и т.д.

cshybr09

[1:2):3):4):5] : [6:7):8):9):10] = (7*8*9*10)/(2*3*4*5*6) = 7

svetik5623190

как первую решать?
не перебором же
ясно, что составить числа 1, 2, ... 10 в числителе и знаменателе одной дроби так, чтобы получилось 7, можно. Но какой должен быть алгоритм расставления скобок для того, чтобы получить нужную дробь?

shale60

такие задачи на расставление скобок решаются без алгоритмов, надо тупо догадаться. в этом и весь смысл. ну естественно не полный перебор, просто обычно такие задачки делаются методом пристального взгляда

Suebaby

2:3:4:5:(6:7:8:9:10)=(7*8*9*10)/(2*3*4*5*6)=7

Perce

2:3:4:5:6:7:8:9:10=7
Надо написать длинную дробь и числа 1,2,…10 расставить какие-то сверху, какие-то снизу, чтобы в сумме получилось 7.
Очевидно, что 7 должно оказаться вверху, 5 и 10 по разные стороны, числа 3 и 6 должны быть по другую сторону от 9. Число 1 по условию вверху, а 2 внизу.
Тупо пробуем раскидать числа, после 20-30 секунд у меня получилось уравнять всё так: 2,3,4,5,6 идут вниз, а 7,8,9,10 – вверх. Из этого осталось только понять как расставить скобки, чтобы получилась такая дробь. ответ выше уже дали.
Считаю, вполне нормальные задачи именно для физмат школы.

fhfoihjkjhgjy

 

такие задачи на расставление скобок решаются без алгоритмов

Мой алгоритм был такой:
1. 7- простое число, значит после манипуляций оно в итоге должно остаться в числителе
2. Остальные числа в результате манипуляций должны давать 1
3. Разложил числа на множители (6 = 2*3, 10 = 2*5 и т.д. в результате смотреть, как лучше взаимоуничтожить числа, стало легче. В итоге получил решение, но оно уже было дано.
Но догадаться тоже можно
2: опередил

svetik5623190

как решал?

svetik5623190

осталось только понять как расставить скобки, чтобы получилась такая дробь.

это самое сложное!

svetik5623190

видимо, мне трудно такие штуки делать, потому что я не участвовал в школьных математических олимпиадах

griz_a

Верно ли, что число 199.6 (1996^1996 - 1) – целое?

чего-то я не понял в чем сложность.
ну и вообще, как сказал александров студентам, жаловавшимся на лекции смирнова: "не знаю, как вы, а я все понял".
не знаю как 8клашкам - а мне все понятно %)

cshybr09

как решал?

ясно, что все цифры кроме 2 можно запихать как вверх, так и вниз.

mtk79

как первую решать?

8=4*2
10*9=5*3*6
*7 — в числителе
2 — по любому в знаменателе, т.е. из первой строчки д.б. :2:4*8
остаются два варианта со второй строчкой: v1 10*9:3:5:6 — это
1:2:3:4:5:(6:7:8:9:10)
v2 3*5*6:9:10 — это
1:(2:3):(4:5:6:7:8):9:10
ясен перець, это не единственные варианты

maxbut

*7 — в числителе
2 — по любому в знаменателе

это самое главное. сразу ясно, что если 8 тоже в знам, то 4 и 6 и 10 надо отправить в числ, дальше аналогично.
получилось
числ 1*3*4*6*7*10
знам 2*5*8*9
у меня к примеру получилось что-то вроде такого 1:(2:3:4):(5:6:7):8:(9:10) = 7

kastodr33

Верно ли, что число 199.6 (1996^1996 - 1) – целое?
эту задачку я сам решить за полчаса не смог

Это говорит о том что хромает не только олимпиадная подготовка, но и базовая школьная.
Задачи для 8-го класса физмат школы вполне обычные.

MammonoK

Верно ли, что число 199.6 (1996^1996 - 1) – целое?

ну за эту должно быть стыдно
я вообще с трудом решаю школьные олимпиадные задачи, но эту осилил за минуту

Vlad128

да бывают глюки и затупы, стыдиться, я думаю, нечего

iamar

задача из другого варианта устного собеседования: Верно ли, что число 199.6 (1996^1996 - 1) – целое?
эту задачку я сам решить за полчаса не смог, но после того, как мне объяснили, моментально придумал аналогичную, с решением:

А мне пяти секунд хватило, чтоб посмотреть на какую цифру заканчивается произведение..
В целом очень простые и стандартные задачки для школьников восьмого класса.
Правда в школе я был "слишком олимпиадником", может быть сказывается прежнее задротство.

svetik5623190

да бывают глюки и затупы, стыдиться, я думаю, нечего

+1
тут главное было сообразить, что надо мыслить в терминах "на какую цифру заканчивается", далее всё тривиально
а я пытался разложить на целые множители, и чуть ли не к малой теореме Ферма хотел всё сводить

Perce

пытался разложить на целые множители, и чуть ли не к малой теореме Ферма хотел всё сводить

Горе от ума, называется

gr_nik

В смысле, тут даже не надо догадываться, что в таких терминах надо думать. 199.6 на что-то умножается, значит, чтобы получилось целое число, надо, чтобы множитель делился на 5. Рассматриваем остатки от деления на 5. 1996 имеет остаток 1, значит, и все его степени тоже, то есть 1996^1996-1 делится на 5. По-моему, тут не нужно каких-то ярких идей, чтобы решить.

lenmas

Рассматриваем остатки от деления на 5. 1996 имеет остаток 1, значит, и все его степени тоже, то есть 1996^1996-1 делится на 5.

Это тоже горе от ума. В школе вообще-то проходится формула a^n-b^n

gr_nik

Это тоже горе от ума. В школе вообще-то проходится формула a^n-b^n

Так это надо ещё сообразить, что 1=1^n %)

FieryRush

ясно, что составить числа 1, 2, ... 10 в числителе и знаменателе одной дроби так, чтобы получилось 7, можно. Но какой должен быть алгоритм расставления скобок для того, чтобы получить нужную дробь?

Была задача на всесоюзной олимпиаде - в такой дроби всегда можно расставить скобки так, что числа будут стоять в знаменателе и числителе как угодно за исключением первых 2-х чисел (они всегда стоят как x1/xn). Т.е. можно сначала найти нужную дробь, а потом тупо подобрать скобки для нее. Понятно, что решать первую задачу не надо, надо просто иметь смелость дробь составить, дальше уже очевидно.

svetik5623190

дробь-то я сразу составил, а вот скобочки подобрать долго не получалось
про горе от ума в задаче с 1996 полностью согласен сам смеялся, когда решение объяснили как вам мой вариант с заменой 1996 на 1995?

Suebaby

как вам мой вариант с заменой 1996 на 1995?

мне больше нравится, если заменить на 2010. Современно и просто!

Niger

199.6 (1996^1996 - 1)

но ради спраиведливости надо отметить, что писать надо 199.6*(...)
а иначе -вполне себе запись периода бесконечной периодической дроби выражением.

Niger

2,3,4,5 в немнго разных формулировках видел десятки раз, например их часто дают на всяких региональных олимпиадах

издеваешься?
Банальные задачи на сложные проценты, дроби, две/три/четыре трубы -это не олимпиадный уровень, а "урочный".
Даже с делением и скобками на олимпиадность не тянет.
пятая задача, как правильно ответили, просто "считанием" решается, третья- выбором из очень небольшого числа вариантов.

Vlad128

Это тоже горе от ума. В школе вообще-то проходится формула a^n-b^n

это тоже горе от ума. вообще-то любая степень числа, заканчивающегося на 6, заканчивается на 6, вычитаем единицу, получаем на конце пять, значит число делится на пять.

MammonoK

рассуждал аналогично

Suebaby

вообще-то любая степень числа, заканчивающегося на 6, заканчивается на 6

а это горе (рассматривать остатки по модулю 10 вместо остатков по модулю 5) — от десятичной системы счисления
ферматистов ещё почитай, они любят подобные факты о цифрах
впрочем, не скрою, тоже рассуждал как ты

Vlad128

Так это не то, чтобы горе, это правильный путь для 7миклассника

svetik5623190

рассуждал аналогично

не осилил так рассудить, поэтому и тупил

coka1

Насколько я знаю, в 2007-й сейчас собрана достаточно известная команда олимпиадников (кстати, именно они последние годы делают турнир Архимеда). Задачки адекватные для поступления в матшколу. Адекватно ли там обучение - не знаю, самому интересно...

vvasilevskiy

решил за 30 секунд

10 секунд
UPD: на 5 задач потратил 15 минут, что я считаю довольно много. Больше всего времени заняла 1 задача, остальные не более 1 минуты, с ценами так вообще в уме за 5 секунд решается.
Вообще на олимпиадный уровень 8 класса потянет только 1 как мне кажется и то с натяжкой, остальные как раз для собеседования где надо решать быстро в течение минуты

svetik5623190

Насколько я знаю, в 2007-й сейчас собрана достаточно известная команда олимпиадников (кстати, именно они последние годы делают турнир Архимеда)

я в курсе
на некоторых дипломах, выданных в этом году участникам турнира, даже моя подпись стоит

estochka

решил за 30 секунд

за 10:

> [2620]$ bc -l

bc 1.06

Copyright 1991-1994, 1997, 1998, 2000 Free Software Foundation, Inc.

199.6*(1996^1996 - 1)

26338576048629663711022550030891386405233208079100554776420867150632\

27135658825879185056338560783911033803263509256146002886135654640214\

23205247942885388815736014018599573408084937061726184559992791485634\

22234322463313303486378934672791289328446544274835947315960233447675\

52025733064859277610410217683224100788928614426510737452456395487462\

98442936712514352442982279458809583662796726950454899682814116827095\

23803512868699433428240088155673572422429126437680664721509870107971\

62838375988865324787401967222609934251991070726500309946994100683907\

10654748398363544545670459878908789750176980605499401795737392665568\

15998706223530941501277691167501138808664619355783754531432526799932\

62511442334953682859401061849278917556195588656628150254868315972537\

66140823463530493435053503892178256159192464651546398850000563656840\

67126680169688385791297716683223244017872646196140305267329254991028\

93102249279307658369528795050631327852240302499123118936130073890767\

36136147920763087361832751437396724961380200419515212336798530449121\

87472789209244384615491489761925616350631425353452189922314563545138\

77230668520629269832333876376529314083650095882687569798019983284172\

40007664387807921627529507478426112973512658732905361196063758548713\

77780233799177022437794225232755062839947051646339123989942378507746\

36569798465308191420590865882396047341103203746625964764620869311262\

09907056146184461389378182131829864944217425380263579359495574254736\

99510862708918349925788638519493994595698733011788150273448695579587\

08257123616970836464185160705320630514323364873738176568878999508555\

95051230126112686117758941814553739482547210769118646753084752355243\

00658285374656139490035523822186109900073936348542611484988342361307\

85774658075619525789676048141133464947489327568622138243849687576214\

39124547882676563305479140460187155854135548351089390524581701976297\

33310302961008345249272508729971363931106239276922882274239190673134\

26449490663612992436857883023646007413604425786755637156034732292344\

02364361306334796966998119378422149381642536580411208860770911652634\

31162058792837431372604342416343866869544966570343392761425382914220\

86122565185845500863577474741258319887373212369099453594665499312998\

61084132202942514628835237137466140546628713113817759123072637668464\

14857304060895066266640163336224283708633461188446590181079110423882\

24008160749650692966182750171643877563542290972469366097451031650237\

61436878456281618574968080585655215456886502130381826243701506678428\

85608025446317245944719797538994335663851964780049808759652208829404\

72095266113740426109845343670673927330414023558394485764282714967144\

14273294948092656390804092398679661736660217211987269229410429629789\

10476087613916246524398517958310936280447475176998909314048614044869\

67994769038513451645452303743633900141112167797976761346784647212003\

96368483277969578406300087402846705828591397995157865670765169369050\

48101842499952619644724269085119344986180651953441007062479643161034\

51133705224344617303350102939946246923032968085834062733061193183068\

69580532406859925824712871117157777037961521054904255595156532045012\

68084467426406565685688259966685411286493191059961442090797772244324\

51805771137187214424408786435063101045129613825417191308711540733760\

25843722294516786694021202028293659845748504017402963426209870526803\

02572639965428841328102019414967603030131326336782571497711266165133\

15265772389553938870446868804098928384599010028579534883330179506403\

28276169429669478140549594571486320022201252877136598176492493890923\

21435787350237603235689675074526388657795780485607595448128262616419\

68135996723877225253815851841626213487925219004708544938185916590238\

31677247709452202309266043845054288770478532643629394409308367897972\

56702040405560369513130855008674891796470240190518056679928327438543\

18587743758953339259846324574914382983978448512683928848771704153653\

01292193464570927939070188363161214714313739293711428155427605806653\

89823679973285200476364571666363897359454232811001468374850506694917\

83410709524585420302574543406875117283754434460056635031463586447025\

43917605640754368866531923771019860883403664391427433790592107867558\

56333468567640253124228158022686311109369969717086230964917415263105\

00316901256946711142750549013953345079301327490513114412829392578653\

45943521453354654339553565427214737218408092307219897811123795056582\

18769892902729559389307266937740463415499717432490944907578951126582\

91582973518147647840007996061890020952228003041806948213420513898144\

85970187721043094747481530989454767915916492821338280663880135894905\

02209902564312633422277245616082430283833840356321719147793616062268\

99543101559343939976451969939142831550135315762608047244353474887888\

38411350704853570631254315779420956073529439972358211455093042408926\

61382359207268645118535832143000966537360764165609354486792165435247\

96902941389729124989051066265920005037786982075815342697764766032349\

77891102124368724518410903677343883355766140792351840246500474737888\

07401802228822819577677859305540756236318694043182693703393019425376\

22130173489046751370658560107757091480967477613244384087138672312446\

71699322749078746913788827810320505135169333067269341070277533988323\

59855504804250041606255124940272169900808232392687058190466257581355\

35133735611406100696903801305132233347703184841696643191976208068887\

56333153578791235195884210668426953756994334294612307130695729772997\

00560313548097673135400469069493120790576406839575853027442254705278\

04961832112468850307056929468494676136786004769045409781308461753042\

72092572439835597713814946486555064694707945911853398991747665111040\

44269245553594998572851048471048234094358712796122611888970311681936\

73703716805421629868364185642818122991145804657801651044101477597503\

49812212075210250735822603042320724062677675197361301695189402648343\

47309771291044816750655822237971324285228282804256769306793476418301\

29259457680351648867454813006322814600459119495607918410825447689963\

96254939334025883046590476581741676617061872329744601628725940858266\

02295656339807088669357927304674588440825494077556233630386926833738\

86218735647782152207945311828119701627339019084505018262560269406788\

61714024654262788049214181150554668657536251050845610513168454164831\

06972520850714088588583020559419067617467719642017671475524827659217\

86720201471937934235547262922625706662442859372844215008179636502101\

84991901294716664432659190177674268252564357907402953177441228154072\

51018290124549650714313411198147786108164254469533136947120913998411\

11877488866782824113650025083716081545142397976705246417326137735705\

31414184669497066125694245118492697767109454151900780269999103656700\

99549869103871085623370799246695513444776926555560442406213842.0 

целое !

igor196505

Это доказательство использует факт прохождения процессором верификации, что возможно выходит за рамки школьной программы...

svetik5623190

Кроме того, вдруг организаторы олимпиады относятся к тем математикам, которые не любят "копьютер-ассистед пруфс"?

kartonandme

-ый год не високосный же вроде?
проверил - високосный...

Suebaby

2000-ый год не високосный же вроде?

високосный

gr_nik

Там что-то типа каждые 100 лет год не високосный, но каждый 4 из этих не високосных годов делается високосным (то есть каждые 400 лет год тоже високосный). 2000 как раз одним из таких годов был, так что в 2000 был високосный год, хотя 1900 и 2100 - не високосные.

Selecta

Эх, куда катится Мехмат...
И все это после тем о том, что студенты не учат функциональный анализ.
Как может экзаменатор с такими познаниями студентов на пересдачи отправлять?