Какую книжку почитать по линейной алгебре

turik

чтобы научиться понимать и решать такие задачи:

Пусть f — линейный оператор на линейном пространстве V, которое не предполагается конечномерным. Докажите альтернативу Фредгольма: либо уравнение f(x) = b имеет решение при любой правой части b \in V , либо уравнение f*(y) = 0 имеет нетривиальное решение.

В линейном пространстве вещественных функций $[math]$$T_n = \{\,\sum_{m=0}^n a_m\cos^mx \mid a_i \in R \}$$[/math]$ задана билинейная форма $[math]$$b(\phi, \psi) = \int_0^{2\pi}\phi(x)\psi(x)dx$$[/math]$ . Найдите ее ранг и сигнатуру. Найдите функции, который получаются из базиса 1, cos(x); cos^2(x); ... ; cos^n(x) в результате применения процесса ортогонализации Грамма-Шмидта.

storm

Кембрижскую + справочник по математике

turik

Кембрижскую

Это что?

Suebaby

нужен учебник по функциональному анализу
мне нравится учебник Хелемского, но букв там много (научишься заодно решать ещё очень много задачек)

chepa02

нужен учебник по функциональному анализу

Колмогоров-Фомин же

Suebaby

Колмогоров-Фомин же

испытываю к этому учебнику неприязнь после того, как обнаружил, что там нет определения какого-то популярного и важного понятия (кажется, там нет определения унитарного оператора)

turik

Это алгебра, а не анализ; лекции про векторные пространства (не обязательно конечномерные! линейные формы, сопряжённые пространства и прочее. Во второй задаче проблема не в том, чтобы что-то посчитать, а в том, чтобы понять, что именно считать.
Я знаю только кое-что про конечномерные пространства и чуть-чуть про линейные формы на них; не умею решить даже такие задачи про конечномерные пространства:

Пусть b(u, v) — билинейная форма на V . Рассмотрим отображение f_b : V -> V*, сопоставляющее вектору u \in V линейную функцию на V , заданную формулой f_b(uv) = b(u, v).
Докажите, что отображение f_b линейно. Зафиксируем некоторый базис в V и рассмотрим двойственный базис в V*. Как связаны матрицы отображений f_b и f*_b с матрицей формы b?

Suebaby

Пусть b(u, v) — билинейная форма на V . Рассмотрим отображение f_b : V -> V*, сопоставляющее вектору u \in V линейную функцию на V , заданную формулой f_b(uv) = b(u, v).Докажите, что отображение f_b линейно. Зафиксируем некоторый базис в V и рассмотрим двойственный базис в V*. Как связаны матрицы отображений f_b и f*_b с матрицей формы b?

гм, в тексте встречаются неизвестные определения?
поищи их в любом учебнике по лин. алгебре или в википедии или в гугле
я не могу тебе сказать один хороший учебник по линейной алгебре, но обычно хватает почти любого

turik

поищи их в любом учебнике по лин. алгебре или в википедии или в гугле

Хочется точнее.
Как, обладая минимальными познаниями в линейной алгебре (можно считать, что известны вообще только матрицы) узнать о всех этих билинейных формах, бесконечномерных пространствах и сопряжённых пространствах? Что-то по этим вопросам я знаю. но будет более уместно прочитать с нуля.
Какой учебник лучше читать?
Проблема в том, что записки лекций по алгебре недоступны, а рекомендованные преподавателем полгода назад учебники теме немного не соответствуют.

nely25

будет более уместно прочитать с нуля.

И.М. Гельфанд, лекции по линейной алгебре.
Когда разберёшься с конечномерными пространствами, возвращайся сюда и слушай, что тебе говорят про функциональный анализ.

turik

Ты таки хочешь сказать, что линейная алгебра на бесконечномерных пространствах - это функциональный анализ?

nely25

нет, я всего лишь сужу по содержанию университетских курсов и учебников. В курсе линейной алгебры всё было как правило конечномерно, а формулировки тапа тех, что у опа, были как раз в функане

turik

Хм, у меня этот предмет называется именно алгеброй, и у нас такое - с самого начала второго семестра.
Что-то в моих смутных воспоминаниях о функане никак не фигурируют абстрактные бесконечномерные пространства, только некоторые конкретные :confused:

Например, то, что есть естественный инъективный гомоморфизм из V в V** - это разве функан?

Vlad128

Например, то, что есть естественный инъективный гомоморфизм из V в V** - это разве функан?

У нас это проходилось в функане. Да, это по сути алгебра, просто эти утверждения любят давать в функане, потому что там: 1) это активно используется 2) появляются хорошие естественные примеры соответствующих пространств и легко показывается существенность тех или иных условий.

Suebaby

возвращайся сюда и слушай, что тебе говорят про функциональный анализ.

я, кстати, пересмотрел своё мнение насчёт принадлежности этих задач к функану (упорство пинартура сделало своё дело!)
действительно, в первой задаче ни разу нет никаких норм и под сопряжённым пространством (о ужас!) понмиается абстрактное пространство (то, что в функане, у Хелемского по крайней мере, обозначалось $X^#$, а не $X*$). Потому нужно просто придумать доказательство для конечномерного случая и почти дословно его повторить, не используя конечномерность. Для этого придётся заюзать аксиому выбора (или замолчать тонкие моменты).

turik

Потому нужно просто придумать доказательство для конечномерного случая и почти дословно его повторить, не используя конечномерность. Для этого придётся заюзать аксиому выбора (или замолчать тонкие моменты).

Я не вижу, как повторить доказательство для конечномерного случая (опирающееся на матрицы операторов и их определители не используя конечномерность.
О каком доказательстве говоришь ты?

Suebaby

Я не вижу, как повторить доказательство для конечномерного случая (опирающееся на матрицы операторов и их определители не используя конечномерность.

возьми другое доказательство
опирающееся на понятие подпространства

turik

Вот я и спрашиваю - что почитать по теме?

Suebaby

Вот я и спрашиваю - что почитать по теме?

я могу дать тебе придуманное мной доказательство
учебников по линалу, в которых доказательства построены так красиво, что требуют конечномерности только там, где она по делу, я не знаю (впрочем, я их вообще не знаю особо. Помню несколько фамилий авторов, но чем хорошо каждый из учебников — забыл).

turik

Ну основная цель всё-таки - не узнать/получить решение этой конкретной задачи, а научиться решать подобные.

Vlad128

учебников по линалу, в которых доказательства построены так красиво, что требуют конечномерности только там, где она по делу

зачастую доказательство в конечномерном случае гораздо лаконичнее и, если хочешь, красивее, чем общее. Это лично мои ассоциации с лекциями Тыртышникова, вот он старался всегда доказывать в общем случае, если это возможно, из-за чего иногда становилось стремно, это в первом-то семестре универа.

Vlad128

Для этого надо садиться и решать.

turik

Садиться и решать не поможет при отсутствии необходимых знаний. А они у меня отсутствуют.
Поэтому и завёл этот тред - чтобы мне посоветовали книжку, из которой я бы получил знания, которых хватило бы для того, чтобы сесть и решить такие задачи.

vsjshnikova

зачастую доказательство в конечномерном случае гораздо лаконичнее и, если хочешь, красивее, чем общее. Это лично мои ассоциации с лекциями Тыртышникова, вот он старался всегда доказывать в общем случае, если это возможно, из-за чего иногда становилось стремно, это в первом-то семестре универа.

У Тыртышникова, кстати, учебник есть: http://www.inm.ras.ru/vtm/lection/all.pdf

Suebaby

Ну основная цель всё-таки - не узнать/получить решение этой конкретной задачи, а научиться решать подобные.

фу блин
здесь было решение.
не увидел слова "не"

Suebaby

Садиться и решать не поможет при отсутствии необходимых знаний. А они у меня отсутствуют.

блин. берёшь исходные условия и начинаешь делать из них выводы. Тупыми теоретико-множественными умозаключениями типа "x\in A\cap B ==> x\in A & x\in B". Здесь сильно дальше таких определений, как ядро, образ, оператор, дело не зайдёт.

turik

Ну вот я вообще не вижу, как мне, с моими практически отсутствующими познаниями в линейной алгебре (всё, что знал - давно забыл, но про ядра, образы и операторы помню) решать первую задачу - даже с какой стороны подступиться не вижу.
Да, в общем-то, и во второй не вижу, но я на неё так долго не смотрел.

Vlad128

Как-то связано с

Suebaby

Ну вот я вообще не вижу, как мне, с моими практически отсутствующими познаниями в линейной алгебре (всё, что знал - давно забыл, но про ядра, образы и операторы помню) решать первую задачу - даже с какой стороны подступиться не вижу.

первый шаг — предположить, что неверно первое "либо", доказать второе "либо".

Да, в общем-то, и во второй не вижу, но я на неё так долго не смотрел.

вторая, к сожалению, слишком известна, чтобы понимать, как её решить без исходных знаний. Впрочем, эти исходные знания относятся к школьной тригонометрии. Попробуй найти ответ (результат ортогонализации) для n=2,3. Если тебе не удастся его упростить — ботай формулы тригонометрии. Если удастся — угадай общий и докажи.

Vlad128

Что значит, как решать вторую? Там алгоритм, бери, применяй формулы. Есть в википедии.

turik

вторая, к сожалению, слишком известна, чтобы понимать, как её решить без исходных знаний.

Я и условие-то особо не понимаю. Я не знаю (или знаю, но не помню что такое ранг билинейной формы, её сигнатура и ортогонализация грамма-шмидта.

первый шаг — предположить, что неверно первое "либо", доказать второе "либо".

Это можно сказать про любую задачу с условием "дано А, докажите, что либо В, либо С".

turik

Как-то связано с этим

Ты забыл, что я не знаю почти ничего по теме.
Ну и C^n как-то маловато для задачи о бесконечномерном пространстве.

vsjshnikova

Я и условие-то особо не понимаю. Я не знаю (или знаю, но не помню что такое ранг билинейной формы, её сигнатура и ортогонализация грамма-шмидта.

Тогда можешь читать любой учебник по линейной алгебре, потому что это базовые понятия.
Наример, уже упомянуе лекции Гельфанда или лекции Тыртышникова, на которые я ссылку давал.
Потом будешь думать, как на бесконечномерное обобщить.

turik

Тогда можешь читать любой учебник по линейной алгебре, потому что это базовые понятия.
Наример, уже упомянуе лекции Гельфанда или лекции Тыртышникова, на которые я ссылку давал.

Спасибо.

Vlad128

Ты забыл, что я не знаю почти ничего по теме.
Ну и C^n как-то маловато для задачи о бесконечномерном пространстве.

Слушай, ты запарил, там я написал про утверждение, которое верно в самом общем случае, там не арифметическое пространство, а любое, дал ссылку на википедию, где это доказано (про ортогональное дополнение ядра просто надо почитать, подумать. А ты видишь C^n и все, отмазка готова, а на самом деле на той страничке в википедии достаточно инфы для доказательства альтернативы Фредгольма. И вообще это доказательство есть почти везде, в Тыртышникове точно уверен, что есть.

pygar

Чтобы начать с нуля, но получить всё, хороша классическая "Линейная алгебра и геометрия", Кострикин А. И., Манин Ю. И. (http://books.prometey.org/download/14850.html).

Annie5

для этих задач не очень полезно

Похожие темы: